نشر شدت

برنهارد ریمان

آرکادی پلوتنیتسکی

برگردان: شهاب الدین قناطیر

دانلود فایل مقاله

ریاضیات نقش مهمی در اندیشه ژیل دلوز ایفا کرده‌است. این مهم با درگیری او با حساب دیفرانسیل و انتگرال و گوتفرید لایبنیتس آغاز و نه تنها در همین نقطه نماند بلکه همچنین تأثیر فلسفی عمده‌ای بر او گذاشت. با این حال، برنهارد ریمان شایند است که همچون مهم‌ترین تأثیرگر ریاضیاتی و همچنین فلسفی بر دلوز پنداشته شود، به‌ویژه در آثار پس‌تر او، مانند کتاب‌های سینما، و در همکاری‌هایش با فلیکس گتاری نیز چنین است. پیوند ریاضیات ریمان و فلسفه دلوز یک رویداد چشمگیر در تاریخ فلسفه سده بیستم است و پیامدهای عمده‌ای برای درک ما از پیوند میان ریاضیات و اندیشه دلوز و به طور کلی میان ریاضیات و فلسفه دارد. با این حال، اندیشه ریمان نیز بخشی از تبار فلسفی، و نه صرفاً ریاضی اندیشه دلوز است. ریاضیات که از فلسفه با پیشاسقراطیان متولد شده‌است[1]، دارای توانِشِ فلسفی بزرگی است، حتی اگر این توانِش همیشه در روش‌های رشته‌ای ریاضیات مورد استفاده قرار نگیرد. کار ریمان نشان‌دهنده یکی از بزرگ‌ترین موارد کاوش در این توانِش و اَنبوسِشِ آن، تا حدی با آمیختن ایده‌های فلسفی، مانند آن‌هایی که از فلسفه پساکانتی امتداد یافته‌اند، با اندیشه ریاضیاتی او آغاز می‌شود. من باور دارم که دلوز از مفاهیم ریاضی و فلسفی ریمان در ساختن مفاهیم فلسفی خود بهره می‌برد. بنابراین، پیوند میان ریمان و دلوز همانطور که دلوز و گتاری آن را در فلسفه چیست؟ بیان می‌کنند؛ نه تنها نشان دهنده پیوند شگفت‌انگیزی از ریاضیات و فلسفه، بلکه بیانگر یک دوستی‌ی فلسفی نیز هست(WP 4-5، 9-10).

ریاضیات و فلسفه در ریمان

برنهارد ریمان (1826-1866) یکی از بزرگترین ریاضیدانان قرن نوزدهم و یکی از بزرگترین ریاضیدانانی بوده که تا کنون زندگی کرده‌است. کارهای او حتی با شخصیت‌های افسانه‌ای مانند سر آیزاک نیوتن، کارل فردریش گاوس (معلم ریمان) و اواریست گالوا پیش از او، و هانری پوانکاره و دیوید هیلبرت پس از او رقابت کرده و گاهی بر آن‌ها برتری دارد. (این شخصیت‌ها اغلب همراه با ریمان به عنوان بزرگترین ریاضیدانان عصر مدرن ذکر شده‌اند). علاوه بر این، ایده‌های ریمان احتمالاً بیشترین تأثیر را (حتی در مقایسه با ایده‌های پوانکاره و هیلبرت، رقبای اصلی او در این زمینه) بر ریاضیات در قرن بیستم و بیست و یکم داشته‌است. ریمان همچنین سهم فلسفی قابل توجهی داشته که شاید با ریاضیدانان دیگری مانند فیثاغورس و اقلیدس قابل مقایسه باشد که ایده‌هایشان تأثیر فلسفی قدرتمندی داشته و همچنان ادامه دارد. به‌ویژه، می‌توانیم تاثیرات نااقلیدسی ریمان را در دلوز ببینیم. این ادعا در مورد سهم فلسفی ریمان تا حدی نامتعارف بوده و مستلزم بررسی است.

اگرچه توانایی‌های ریاضی خارق‌العاده او در اوایل آشکار شد، اما ریمان که در خانواده کشیش لوتری به دنیا آمد، در ابتدا در رشته‌های فیلولوژی و الهیات آموزش دید. سپس‌تر در زندگی خود به خوبی با فلسفه آلمانی پساکانتی آشنا شد. این علایق کلامی و فلسفی (زودهنگام) تأثیر خود را بر ایده‌های ریاضی او گذاشت. با این حال، ریمان یک فیلسوف نبود، بر خلاف مثلاً دکارت و لایبنیتس اگرچه افکارشان با داد و ستد پیچیده بین هر دو گستره می‌انبوسید، به طور کلی، فلسفه و ریاضیات را به عنوان گستره‌های پژوهشی جداگانه‌ای کاوش می‌کردند. مفاهیم فلسفی ریمان عمدتاً از طریق مفاهیم ریاضی او گستردگی یافت. البته این را می‌توان در مورد مفاهیم ریاضی دکارت و لایبنیتس یا سایر ریاضیدانان مانند آنهایی که در بالا ذکر شد نیز بیان کرد. اما گنجایش ریمان برای گسترش و بهره‌وری از این توانِشِ فلسفی ریاضیات به‌ویژه قابل توجه است و اهمیت او برای دلوز در این زمینه بی‌همتا است – اگرچه لایبنیتس، گالوا، نیلز هنریک آبل و کارل وایرشتراس تاثیرات مشابهی در کار دلوز دارند.

ریمان در زیست کوتاه ریاضیاتی خود (او در سن چهل سالگی بر اثر سل درگذشت)، سهم بنیادینی در بسیاری از زمینه‌های ریاضیات مدرن – از جمله جبر، آنالیز، هندسه، توپولوژی و نظریه اعداد داشت. حتی از دیدمانگاه فلسفی محدودتر این مقاله نمی‌توان عدالت را در مورد بررسی کارهای شگفت‌انگیز او رعایت کرد. با این حال، می‌توان استدلال کرد که از این دیدمانگاه و در پیوند با اهمیت او برای فلسفه دلوز، بزرگ‌ترین تاثیرات ریمان، نخست، مفهوم فضایی او و ثانیاً، ظرفیت او در آمیغِ زمینه‌های متفاوت در برخورد با مسائلی است که آشکارا متعلق به یک گستره یکّه هستند. آنچه را که من نااقلیدسیزمِ ریاضی یا فلسفی می‌نامم، بر اساس الگوی اندیشه و کنش ریمان پنداشت گردیده که از سوی این دو پدیده تعریف شده و می‌شود.

مفهوم فضایی ریمان به‌عنوان خمینگی[2] به ما اجازه می‌دهد تا فضاهای معین[3] را همچون مجموعه‌های پرگاله‌پرگاله‌ای[4] از فضاهای موضعی تعریف کنیم، بدون اینکه، به طور کُلی، فضای کلی دارای همان نوع ساختاری باشد که این زیرفضاهای موضعی دارای آن هستند؛ در حالی که ریزفضاهای موضعی هم می‌توانند با یکدیگر نیز متفاوت باشند. این ویژگی‌ها ناهمگونی‌ی فضایی‌ی ریمانی را به وجود می‌آورند، که با این حال، به دلیل همپوشانی بین فضاهای موضعی به هم مرتبط هستند. به طور خاص، این فضاهای موضعی را می‌توان بی‌نهایتِ اقلیدسی در نگر گرفت، در حالی که فضای کلی، به طور کلی، یک فضای اقلیدسی نیست. شایند است به فضای کلی یک گُمارِشِ جامع داده شود. به طور خاص، شایند است یک ساختار متری کلی به آن داده شود، که با فرمول اندازه‌گیری فاصله بین نقاط که به صورت موضعی متفاوت است گمارده ‌شود و به طور بی‌نهایت خُرد (یعنی زمانی که دو نقطه مورد نگر به هم نزدیک هستند) خود را به فرمول اندازه‌گیری فواصل در فضای اقلیدسی تبدیل کند. چنین فضایی شایند است خمیدگی ثابتی داشته باشد، مثلاً در مورد یک کره دو بعدی، که خمینه ریمانی است، یا می‌تواند فضایی به عنوان خمیدگی متغیر، شبیه به دیدمانِ تپه‌ماهورها باشد. فضای اقلیدسی‌ی یک بعد داده شده، مانند صفحه دوبعدی یا فضای سه‌بعدی که ما معمولاً آنها را درک می‌کنیم، موارد بدیهی‌یی از خمینگی است که در آن فضاهای موضعی درگیر و فضاهای کلی اقلیدسی هستند. ریاضیات مدرن فضاها را اعم از اقلیدسی یا ریمانی با هر تعداد ابعاد از جمله فضاهای بی‌نهایت-بُعدی[5] در نگر می‌گیرد و ریمان نیز چنین فضاهایی را در نگر دارد.

دومین مؤلفه اصلی نااقلیدسی با عمل نظری[6] – ریاضیاتی یا فلسفی‌ی – ترکیب زمینه‌های مختلف در نزدیک شدن به اشیاء تعریف شده یا مسائل فرمول‌بندی شده در یک حوزه واحد، و ظاهراً متعلق به آن، تعریف می‌شود. مفهوم یک خمینه‌ی ریمانی با ترکیب جبر، آنالیز و هندسه و در نتیجه با استفاده از یک عمل نظری بس‌گانه یا خمینه[7] – ناهمگن و نیز برهم‌کنشوَر- که او در سراسر کار خود به کار گرفت و گسترش داد، توسعه یافت. رویکرد بَس-میدانی[8] ریمان به مسائل ریاضی، نمونه‌ای از پیدایش نوع جدیدی از ریاضی است که با کارکردهای برهم‌کنشورانه بس‌گانه و همچنین ناهمگون، بسترهای مختلف ریاضی مانند – هندسه، توپولوژی، جبر، آنالیز و غیره – در برخورد با یک واحد بدون اینکه لزوماً یک کلیت یا یکپارچگی حاکم بر این بس‌گانگی باشد را تعریف کرده‌است. بنابراین می‌توان ویژگی‌های مشترک را در «فضای» عمل و در مفهوم فضایی ریمان به‌عنوان خمینگی درک کرد و جنبه‌های خاصی از تفکر ریمان در هر دو آشکار است. در حالی که پیوند دادن مفهوم فضایی ریمان به عمل او دشوار خواهد بود، این نوع تفکر فضایی و این نوع عمل اغلب دست به دست هم داده و به شکل‌های مختلفی همپوشانی دارند؛ نیز از این رو می‌توانند تا حدی از یکدیگر نقشه‌برداری کنند، در تفکر نااقلیدسی، چه ریاضی، مانند تفکر ریمان، و چه فلسفی، مانند تفکر دلوز چنین چیزی حاکم است.

بنابراین چنین درمی‌یابیم که ریاضیات نااقلیدسی بسیار فراتر از ایده‌هایی است که به هندسه‌های جایگزینی منتهی شد که اصطلاح «نا اقلیدسی» با آن سرچشمه گرفت، زیرا کشف آنها در اوایل 1800 در این زمینه بسیار مهم بود. ریمان یک نوع از این هندسه‌ها را کشف کرد – هندسه‌هایی با خمیدگی مثبت. خمیدگی منفی نیز وجود دارد و هندسه اقلیدسی خود دارای خمیدگی صفر است و این یعنی که مسطح است. مفهوم خمینه ریمان به او این امکان را داد که هم هندسه اقلیدسی و هم هندسه نااقلیدسی را در یک مفهوم کلی‌تر در بر بگیرد، که همچنین آن را قادر می‌سازد تا به عنوان مبنای ریاضی برای نظریه گرانش نانیوتنی اینشتین، معروف به نسبیت عام، عمل کند. در ریاضیات یونان باستان، به ویژه در روابط بین حساب و هندسه، می‌توان اجزای خاصی از روش جمع نااقلیدسی را پیدا کرد. در واقع، پیچیدگی حل نشده این روابط از آن زمان به بعد ریاضیات را تحت الشعاع قرار داده است، به طوری که جبر در نهایت جای حساب را گرفت و اندیشه ریمان و مفهوم خمینه‌های او منعکس کننده این پیچیدگی است. با این وجود، ظهور فزاینده ریاضیات جمعی[9] در مقیاس وسیع در اوایل 1800، تقریباً در زمان گاوس (معلم ریمان و پیشرو در این زمینه نیز)، یکی از مهم‌ترین تحولات در تاریخ ریاضیات بود. بنابراین، این گونه از ریاضیات را می‌توان در طول قرن نوزدهم و سپس، با اثربخشی روزافزون، در قرن بیستم و بیست و یکم پیدا کرد.[10]

اندیشه ریمان یکی از بزرگترین تجلیات نخستین نااقلیدسی نه تنها در ریاضیات، بلکه در فلسفه است، با استفاده از اصطلاح فلسفه در مفهوم دلوز و گتاری از ابداع مفاهیم نو، یا حتی مفاهیم «همیشه نو» (WP 5). این معنا نیز با مفهوم متفاوتی از خود مفهوم فلسفی تعریف می‌شود. یک مفهوم فلسفی موجودی نیست که با تعمیم جزییات یا «هر ایده کلی یا انتزاعی» (WP 11-12، 24) ایجاد شود، بلکه یک موجودیت بَس‌لایه‌ی درهمجوش است: «هیچ مفهوم ساده‌ای وجود ندارد. هر مفهومی دارای اجزایی است و توسط آنها تعریف می‌شود. بنابراین ترکیبی [رقم][11] دارد. بس‌گانگی [خمینگی] است. . . هیچ مفهومی تنها با یک جزء وجود ندارد (WP 16). هر مفهوم، درهمجوشی بَس-هِشتِه[12] از مفاهیم(به معنای متعارف آنها)، شکل‌ها، استعاره‌ها و غیره است که یک وحدت را تشکیل می‌دهند یا، همانطور که مفاهیم خود دلوز اغلب چنین‌اند، یک معماری ناهمگون‌تر، اگر تعاملی‌تر باشد، یکپارچه‌پذیر نیست. معماری‌ی مفهوم دلوز و گتاری خود تا حدی توسط فضاییتِ ریمانی به‌عنوان خمینگی با پیوند دادن ابداعِ مفاهیم فلسفی به فضایی تعریف می‌شود، و تا حدی، مفهوم ریمانی – صفحه درون‌ماندگاری – بنابراین فضای عملکرد یک مفهوم داده شده را به فضای ریمانی تبدیل می‌کند. این مفهوم از یک مفهوم در متون قبلی دلوز قابل ردیابی است و تکاپوی آفرینِشِ مفاهیم، ممکن است به عنوان تعریف کار دلوز در نگر گرفته شود. یکی دیگر از ویژگی‌های بارز فلسفه دلوز که به همان اندازه قابل توجه است این می‌باشد که هر مفهومی نیز به عنوان یک مسئله در نگر گرفته ‌شود. از تفاوت و تکرار تا فلسفه چیست؟، تفکر فلسفی، بر اساس مدل ریاضی، به‌عنوان تفکرِ مسئله‌ای (اندیشه‌ای که با طرح مسائل تعریف می‌شود) کار می‌کند نه بر اساس تفکر نظری (اندیشه‌ای که با استخراج گزاره‌ها از بدیهیات بر اساس قواعد ممنوعه، به شیوه‌ای که عناصر اقلیدس عمل‌ می‌کنند). تفاوت و تکرار به عملکرد ریاضی یا، دوباره، ریاضی-فلسفی آبِل و گالوا به عنوان مثال‌های پارادایمیک توجه می‌کند، و بیان می‌کند که «ایده‌ها اساساً «مسئله‌آمیز» هستند، در حالی که «برعکس، مسائل ایده‌ها هستند» (DR 168).

اشکال خاصی از تفکر ریاضی، مانند تفکر ریمان، ممکن است در اصطلاحات فلسفی دلوز و گتاری دیده شود. به این معنا که می‌توان همان طور که دلوز و گتاری در عمل تعریف می‌کنند، به تفکر ریاضی تعمیم داد، اگرچه، همانطور که در حال حاضر بحث خواهم کرد، آنها نیز حق دارند بر تفاوت رشته‌ای بین ریاضیات و فلسفه تأکید کنند (WP 117-18). به گفته دلوز:

دو نوع مفهوم علمی وجود دارد. حتی اگر در موارد خاص با هم مخلوط شوند. مفاهیمی وجود دارند که ماهیت دقیق دارند، کمی هستند، با معادلات تعریف می‌شوند، و معنای واقعی آنها در دقیق بودن آنها نهفته است: یک فیلسوف یا نویسنده می‌تواند فقط به صورت استعاری از آنها استفاده کند، و این کاملاً اشتباه است، زیرا به علم دقیق تعلق دارند. اما مفاهیمی اساساً نادقیق و در عین حال کاملاً دقیق نیز وجود دارد که دانشمندان نمی‌توانند بدون آنها کار کنند، که به همان اندازه به دانشمندان، فیلسوفان و هنرمندان تعلق دارند. آنها باید به گونه‌ای دقیق شوند که مستقیماً علمی نباشد، به طوری که وقتی دانشمندی موفق به انجام این کار می‌شود، فیلسوف و هنرمند نیز می‌شود. این نوع مفهوم به دلیل کمبود چیزی در خود نیست که نامشخص است، بلکه به دلیل ماهیت و محتوای آن چنین است. (N 29، ترجمه اصلاح شده)

بنابراین، یک مفهوم فلسفی متناظر با یک شیء ریاضی یا علمی نیز می‌تواند توسط ریاضیات و علم کشف شود و این دستاورد مهم اکنون به عنوان فلسفه بر روی تعریف دلوز و گتاری موثر است. نیز، همانطور که آنها ادعا می‌کنند، «وقتی یک شی – برای مثال یک فضای هندسی – به طور علمی توسط توابع ساخته می‌شود، مفهوم فلسفی آن، که به هیچ وجه در تابع ارائه نشده است، هنوز باید کشف شود» (WP 117). از سوی دیگر، این یک سوال پیچیده است که یک مفهوم فلسفی خاص از فضا، مثلاً اقلیدسی یا ریمانی، کجا و چگونه و به چه ترتیب اختراع و چگونه در میان ریاضیات، فیزیک و فلسفه پدیدار شده‌است. به‌ویژه، ممکن است ریمان نه تنها مسئول بسیاری از ویژگی‌های کلیدی ریاضی (هندسی و توپولوژیکی) مفهوم خمینه‌اش از فضا باشد، بلکه باید سمئول بسیاری از جنبه‌های کلیدی فلسفی آن در نگر گرفته شود، حتی اگر هم لایبنیتس قبل از او و هم اینشتین بعد از او نقش مهمی در آن داشته‌ بوده باشند. توسل دلوز به ماهیت عددی یا کمی مفاهیم علمی ممکن است با در نگر گرفتن مسئله فضایی بودن ریاضی در مقابل فضایی بودن فلسفی و در ذهن ریمان و همچنین برگسون صورت گرفته باشد. دلوز و گتاری مفهوم (کیفی) فاصله و مفهوم (کمی) بزرگی را در کنار هم قرار می‌دهند که مربوط به کنار هم قرار گرفتن[13] فضاهای صاف و مخطط در هزار فلات (TP 483-4) است. مانند بهره‌وری دلوز و گتاری از مفهوم خمینگی ریمان، دیرندِ برگسون ممکن است تا حدی به عنوان چکیده‌ای مفهومی غیر دقیق و کیفی از «خمینگی متریک یا خمینگی بزرگی» ریمان در نگر گرفته شود (TP 483؛ ترجمه اصلاح شده).[14]

از این رو، دلوز هم در مورد استفاده از ریاضیات و علم در فلسفه محتاط است و هم از کاربرد آن دفاع می‌کند. همانطور که در سینما 2 چنین می‌گوید–برسانِ سینما 1 [15] که از ایده فضاهای ریمانی استفاده می‌کند و نیز چنین است:

ما متوجه گَزندِ استناد به گزاره‌های علمی بیرون از گستره خود هستیم. این گزندِ استعاره‌ی تحکمی[16] یا گزندِ کاربرد اجباری است. اما شاید اگر خودمان را به گرفتن یک خصلت مفهوم‌پذیر خاص که خود به حوزه‌های غیرعلمی اشاره می‌کند و با علم همگرا است بدون اینکه آن را به کار ببرند یا آن را [به سادگی] استعاره کنند ، محدود کنیم، بتوانیم از این گزندها جلوگیری کنیم. (TI 129)

فلسفه و ریاضیات در دلوز و گتاری

در فلسفه چیست؟ دلوز و گتاری اندیشه را بر حسب رویارویی آن با آشوب[17]، دشمن بزرگ و دوست بزرگ اندیشه و متحد بایسته آن در مبارزه و در عین حال بزرگتر از آن علیه عقیده یعنی (دوکسا) تعریف می‌کنند (WP 201-2). ریاضیات یا علم، فلسفه و هنر، اَشکال خاصی از اندیشه در این تقابل هستند (WP 118, 201-18). به خود آشوب نیز مفهوم خاصی داده شده است:

آشوب بر پایه‌ی پَراشیدگی‌اَش[18] تعریف‌پذیر نیست بلکه بر پایه شتاب بی‌نهایتی که هر دیسه‌ای در آن می‌انبوسد و سپس نابود می‌گردد؛ تعریف‌پذیر است. این کاواکی[19] است که یک نیستی نیست، بلکه امر مجازی‌یی است که شامل همه ذرات شایند بوده و همه دیسه‌های شایند را برمی‌آهنجَد[20]، بدون دوسناکی[21] یا پس‌گَشتگاه[22]، بدون برآمد[23]، تنها بی‌درنگ ناپدید می‌شود. (WP 118)

تفاوت تفکر فلسفی و علمی، اعم از ریاضی، به عنوان رویارویی با آشوب، با تعیین آنها به ترتیب در مفاهیم و کارکردها مشخص می‌شود. (از نگر ریاضی، توابع با دقت زیاد اعداد یا موجودیت‌های دیگر را طبق قوانین مشخص شده به یکدیگر مرتبط می‌کنند.) به گفته دلوز و گتاری:

موضوعِ علم مفاهیم نیستند، بلکه کارکردهایی هستند که به صورت گزاره‌ها در نظام‌های گفتمانی ارائه می‌شوند. عناصرِ کُنِش‌ها، کنشگرها[24] نامیده می‌شوند. یک مفهوم علمی نه با مفاهیم، بلکه با کارکردها یا گزاره‌ها تعریف می‌شود. این یک ایده بسیار پیچیده با جنبه‌های مختلف است، همانطور که قبلاً از کاربرد آن در ریاضیات و زیست‌شناسی می‌توان فهمید. با این وجود، این ایده از عملکرد است که علوم را قادر می‌سازد تا تأمل و ارتباط برقرار کنند. علم برای این کارها نیازی به فلسفه ندارد. از سوی دیگر، هنگامی که یک شی – مثلاً یک فضای هندسی – به طور علمی توسط کُنِش‌ها ساخته می‌شود، مفهوم فلسفی آن، که به هیچ وجه در کُنِش ارائه نشده‌است، هنوز باید کشف شود. علاوه بر این، یک مفهوم ممکن است به عنوان اجزای خود، کُنِشگرهای هر کُنشِ شایندی را بدون داشتن کمترین ارزش علمی، اما با هدف مشخص کردن تفاوت‌های گونه میانِ مفاهیم و کُنِش‌ها، به کار گیرد. . . . فلسفه می‌خواهد بداند چگونه می‌تواند شتاب بی‌نهایت را در حین به دست آوردن دوسناکی، با دادن دوسناکی خاص به مجازی، حفظ کند. پالایش فلسفی، به عنوان صفحه‌ای از درون‌ماندگاری که آشوب را قطع می‌کند، جنبش‌های بی‌نهایت اندیشه را برمی‌گزیند و پر از مفاهیمی است که مانند ذرات ثابتی می‌انبوسند که با شتاب اندیشه می‌پویند. علم با آشوب به روشی کاملاً متفاوت و تقریباً متضاد برخورد می‌کند: علم شتابِ بی‌نهایت و بی‌نهایت را می‌رهاند تا مرجعی به دست آورد که بتواند امر مجازی را به کنشمندی برساند. با حفظ بی‌نهایت، فلسفه از طریق مفاهیم به امر مجازی دوسناکی می‌بخشد. علم با چشم پوشی از بی‌نهایت به امر مجازی اشاره می‌کند که آن را از طریق کارکردها به کنشمندی می‌رساند. فلسفه با صفحه درون‌ماندگاری و دوسناکی پیش رفته و علم با صفحه‌ی پَس‌گَشتگاه پیش می‌رود. این مَهَند در مورد علم مانند یک تصویر-ثابت است. این یک کُندسازی فوق العاده است. (WP 117-18؛ ترجمه کمی اصلاح شده)

بنابراین، اندیشه فلسفه می‌کوشد به مفهومی پایبند باشد که با شتاب بی‌نهایت اندیشه، صفحه‌ی درون‌ماندگاری را ‌بپیماید و به این صفحه یا سطح، دوسناکی بخشد. صفحه درون‌ماندگاری خود یک مفهوم پیچیده فلسفی بس-هِشته[25] است (WP 35-61). نکته اصلی در اینجا این است که بر خلاف فلسفه، علم آشوب را در جنبشِ آهسته یا تصویر-ثابت «می‌فِسُرَد یا می‌ماسانَد» – گاهی اوقات، به ویژه در فیزیک، به معنای واقعی کلمه از فرآیندهای فیزیکی انگاریده، فرتور می‌گیرد. علم با انجام این کار یک صفحه پس‌گشتگاه یا هماهنگی ایجاد می‌کند که به عنوان علم به آن نیاز دارد.

با این حال، در حالی که به نگر می‌رسد تفاوت بین فلسفه و علم، یا بین هر دو و هنر، ناکاست‌پذیر است، تعامل بین آنها نیز ناپرهیزپذیر به نگر می‌رسد. بنابراین، اندیشه فلسفه شایند است گاهی اوقات با کُند کردن یا بَستَناک کردن (یَخانیدن) یک مفهوم مجازی، آن را حفظ کرده و بپاید. برعکس، علم گاهی با شتابِ بی‌نهایتِ فلسفی در (و با ایجاد) صفحه درون‌ماندگاری فرامی‌شود و می‌تازد تا مفهومی فلسفی منطبق با یک شیء ریاضی یا علمی برای انبوسش این شیء فرازبیافریند. به نگر می‌رسد که فلسفه و علم به یکدیگر نیاز دارند، همانطور که دلوز و گتاری در پایان بحث خود درباره تفاوت بین فلسفه و علم در فلسفه چیست؟ می‌گویند:

اگر فلسفه نیاز اساسی به علمی دارد که با آن معاصر است، به این دلیل است که علم پیوسته با شایش‌پذیری مفاهیم برخورد کرده و مفاهیم بایستمندانه شامل کنایه‌هایی از علم هستند که نه مصداق هستند و نه کاربرد و نه حتی تأملات. برعکس، آیا  کنش‌های علمی مناسبِ مفاهیم وجود دارند؟ این به معنای این است که بپرسیم آیا علم، همانطور که ما معتقدیم، به همان اندازه و شدیداً به فلسفه نیاز دارد یا خیر. اما فقط دانشمندان می‌توانند به این پرسش پاسخ دهند. (WP 162)

من چنین می‌پندارم که حداقل اگر از دانشمندانِ خوب این پرسش را بپرسیم پاسخ “آری” خواهد بود. دلوز و گتاری در پایان کتاب خود می‌نویسند، علم حداقل «می‌کوشد» «کارکردهای مفاهیم را بیانبوسد، همانطور که لوتمن برای ریاضیات چنین می‌پنداشت؛ که یعنی ریاضیات مفاهیم مجازی را کنشمند می‌کند» (WP 217).

خمینه در ریمان و دلوز و گتاری

به گفته ریمان، در سخنرانی پُست دکتری‌اَش “درباره فرضیه‌هایی که در مبانی هندسه نهفته‌اند”، او ایده‌های هندسه خمینه و هندسه ریمانی را معرفی کرد:

مفاهیمِ بزرگی یا مقدار تنها زمانی شایند هستند که یک مفهوم سراسری پیشینی وجود داشته باشد که تخصیص‌های گوناگون را بپذیرد. با توجه به وجود یا نبودن راه یا مسیرِ پیوسته در میان این تخصیص‌ها، یک خمینگی‌ی [Mannigfaltigkeit] پیوسته یا گسسته می‌انبوسد؛ تخصیص‌های فردی در پیوسته را نقاط و در گسسته را نیز عناصر یک خمینگی می‌نامند. مفاهیمی که تخصیص‌های آن‌ها خمینگی‌ی گسسته را می‌دیسانند، به قدری رایج هستند که حداقل در زبان‌های متمدن، هر چیزی که داده می‌شود، همیشه می‌تواند مفهومی را بیابد که در آنها گنجانده می‌شود. . . . از سوی دیگر، فرصت‌های بسیار کمی برای دیسِشِ مفاهیمی وجود دارد که تخصیص‌های آن‌ها خمینگی‌ی پیوسته را می‌انبوسند، که تنها مفاهیم ساده‌ای که تخصیص‌های آن‌ها یک خمینگی گسترده بس‌گانه را می‌دیسانند، موقعیت اشیاء و رنگ‌های درک‌شده هستند. موارد مکرر برای انبوسش و گسترش این مفاهیم نخست در ریاضیات عالی می‌چُرتَد (رخ می‌دهد).[26]

بنابراین ریمان نه بر حسب سازه‌ها و «مجموعه‌ها»، نقاط و روابط بین آن‌ها که از نگر هستی‌شناختی پیش‌فرض شده‌اند، بلکه برحسب مفاهیم تعاریف را بیان می‌کند. هر مفهوم حالت خاصی برای تعیین یا گمارش دارد، مانند یک خمینه‌ی گسسته در مقابل یک خمینه‌ی پیوسته، که عناصر آن، مانند نقاط، از طریق این تعیین یا گمارش به هم مرتبط هستند. بنابراین، فراتر از اولویت دادن اساسی به اندیشه و به طور خاص به اندیشه در مفاهیم بر رویکردهای محاسباتی یا الگوریتمی – تا جایی که در این مورد، تنها یک فرمول (!) در کل سخنرانی را شامل می‌شود – اندیشه ریاضی ریمان از نگر ساختاری مفهومی است که آن را به اندیشه فلسفی به معنای دلوز و گتاری نزدیک می‌کند. این مهند بر پایه مفاهیمی است که مشخصاً تعیین یا گمارده شده‌اند، برخلاف ریاضیاتِ نظریه‌ی مجموعه‌ای که پس از او یا ریاضیات فرمول‌محوری که قبل از او بودند.[27] نکته‌ای که دلوز و گتاری به آن اشاره کردند این بود که به خمینه‌های پیوسته و گسسته تعینات یا گمارش‌های مفهومی متفاوتی داده می‌شود، و در نتیجه در واقع به مفاهیم متفاوتی تبدیل شده یا می‌گَهولَند(TP 32). این موضوع بسیار چشمگیر است و به تفاوت مفهومی بین دو گونه از خمینگی می‌افزاید که ریمان فقط در مورد خمینه‌های پیوسته از “نقاط” صحبت می‌کند و در مورد خمینه‌های گسسته از اصطلاح “عناصر” برای ساده‌ترین موجودات سازنده شامل خمینه‌ها استفاده می‌کند. این مسئله بسیار زیرکانه است، زیرا، به طور خارق العاده، نقاط چهارگانه فقط در رابطه با فضای پیوسته، محیط یا پس زمینه، حاضر و موجود یا ضمنی، مانند یک خط یا یک صفحه، می‌انبوسند. ریمان اساساً مفهوم فضا را به‌عنوان یک خمینه پیوسته دنبال می‌کند که کاربرد ریاضی مدرن این اصطلاح نیز در درجه اول برای آن محفوظ است.[28] خمینه، همان‌طور که گفتم، به عنوان همجوشه‌ای از فضاهای موضعی تعریف می‌شود که می‌تواند به‌طور بی‌نهایت توسط یک نقشه اقلیدسی یا دکارتی (مسطح) ترسیم شود، بدون اینکه اجازه یک نقشه جامع اقلیدسی یا یک سیستم مختصات واحد برای کل به جز در مورد خود فضای اقلیدسی داده شود. به عبارت دیگر، هر نقطه دارای یک همسایگی کوچک است که می‌توان آن را به عنوان فضای اقلیدسی در نگر گرفت، در حالی که خمینه را به طور کلی نمی‌توان چنین پنداشت.

همانطور که در بالا ذکر شد، یکی از نقاط آغاز تامل ریمان در مورد فضا، شایندی‌ی هندسه نااقلیدسی بود که او را به گونه‌ی نوینی از هندسه نااقلیدسی، یعنی انحنای مثبت، سوق داد. این همچنین به این معنی است که هیچ خط موازی کوتاه‌تری یا به قول آنها خط ژئودزیکی وجود ندارد که از نقطه‌ای خارج از یک ژئودزیک معین عبور کند. در هندسه اقلیدسی، جایی که ژئودزیک‌ها خطوط مستقیم هستند، تنها یک خط موازی وجود دارد، اما در هندسه نااقلیدسی انحنای منفی یا هندسه هذلولی گاوس[29]، یوهان بویایی[30] و نیکولای ایوانوویچ لوباچُفسکی[31] – که نخستین هندسه نااقلیدسی کشف شده است؛ بی‌نهایت از این قبیل خطوط وجود دارد. هندسه ریمانی همه این موارد را به عنوان موارد خاص در برمی‌گیرد. با نگاهی به گذشته، از آنجایی که کشف هندسه نااقلیدسی برای تاریخ ریاضیات و تاریخ اندیشه حائز اهمیت بوده‌است، اکنون که می‌نگریم همان طور که هرمان ویل[32] استدلال کرده، چنین درمی‌یابیم که این کشف به عنوان یک «نقطه انحرافِ تا حدودی تصادفی» برای بازاندیشی رادیکال ریمان در مورد ماهیت فضایی نیز بوده‌است.[33] هندسه ریمانی همان خمینگی‌ی (پیوسته) است، رویکردی که فضاهای اقلیدسی و نااقلیدسی را تنها موارد خاصی از این درک کلی‌تر از فضا می‌سازد. ویل از هندسه ریمانی به عنوان “هندسه راستین” صحبت می کند: “این نظریه. . . یک هندسه راستین است، یک دکترین از خود فضا و نه صرفاً مانند اقلیدس، و تقریباً هر چیز دیگری که تحت نام هندسه انجام شده‌است، آموزه‌ای از پیکربندی‌هایی است که در فضا شایند است.[34] دلوز و گتاری با اعتبار بخشیدن به ریمان با ایجاد مفهومی فلسفی و نوین موافق هستند و موضوع را فراتر می‌برند: «زمانی که ریمانِ ریاضیدان، بس‌گانه [خمینه] را از حالت محمول آن بیرون کشید و به اسم «خمینه» [بس‌گانگی] تبدیل کرد، یک رویداد تعیین کننده بود» (TP 482-3؛ ترجمه اصلاح شده). آنها همچنین به نقش خمینه‌های گسسته در ریمان و اهمیت فضاهای دیگر، مانند فضاهای متخلخل، در ریاضیات و جاهای دیگر اذعان دارند. آنها با استناد به لوتمن، فضاهای ریمانی یا ریمان را به صورت خمینه‌های (پیوسته) به شرح زیر توصیف می‌کنند:

«فضاهای ریمان عاری از هر نوع همگنی هستند. هر کدام از آنها به شکلِ بازنمودی مشخص می‌شود که مربع فاصله بین دو نقطه‌ی بی‌نهایت نزدیک را تعریف می‌کند. . . . نتیجه می‌شود که دو ناظر همجوار در فضای ریمان می‌توانند نقاط همسایه‌شان را بیابند، اما نمی‌توانند فضاهای خود را در ارتباط با یکدیگر بدون یک قرارداد جدید قرار دهند. بنابراین هر مجاورت مانند تکه‌ای از فضای اقلیدسی است، اما ارتباط بین یک مجاورت و مجاورت بعدی تعریف نشده‌است و می‌تواند به تعداد بی‌نهایت راه انجام شود. بنابراین فضای ریمان در کلی‌ترین حالت خود، خود را به‌عنوان مجموعه‌ای بی‌شکل از قطعاتی نشان می‌دهد که در کنار هم قرار گرفته‌اند، اما به یکدیگر متصل نیستند.» می‌توان این بس‌گانگی را بدون هیچ ارجاعی به یک سیستم متریک، بر حسب شرایط فراوانی، یا بهتر است بگوییم انباشتگی مجموعه‌ای از همسایگی‌ها تعریف کرد. این شرایط کاملاً متفاوت از آنهایی هستند که فضاهای متریک و گسست‌های آنها را تعیین می‌کنند (حتی اگر یک رابطه بین این دو نوع فضا لزوماً نتیجه گردد). به طور خلاصه، اگر از توصیف خوب لوتمن پیروی کنیم، فضای ریمانی یک پرگاله پرگاله‌ی ناب است؛ و این یعنی که ارتباطات یا روابط پرماسشی دارد و دارای مقادیر ریتمیک است، حتی اگر بتوان آنها را به یک فضای متریک تبدیل کرد که در جای دیگر یافت نشوند. نیز ناهمگن، در دگردیسی‌های پیوسته، فضایی صاف یا هموار است، تا جایی که فضای صاف یا همواره بی‌شکل است و همگن نیست. بنابراین می‌توانیم دو ویژگی مثبت فضای صاف یا هموار را به طور کلی تعریف کنیم: زمانی که تعینات یا گمارش‌هایی وجود دارد که جزئی از یکدیگر هستند و به فواصل پوشیده‌شده یا تفاوت‌های مرتب، مستقل از بزرگی مربوط می‌شوند؛ و زمانی که، مستقل از معیارها، تعینات یا گمارش‌هایی به وجود می‌آیند که نمی‌توانند بخشی از یکدیگر باشند، اما توسط فرآیندهای فرکانس یا انباشتگی به هم متصل می‌شوند. این دو جنبه از قوانین فضای صاف یا هموار است. (TP 485؛ ترجمه اصلاح شده)

اصطلاحات و مفاهیمِ نقشه‌کشی که برای دلوز[35] بسیار مهم است، چرا که تصادفی نیستند؛ تاریخ خاص خود را دارند. گاوس از طریق کار خود بر زمین شناسی که توسط ریمان گسترش یافته بود به ایده‌هایَش رسید. معماری‌ی فضایی که در اینجا طرح شده‌است را می‌توان به فضاهایی تعمیم داد که خمینه نیستند، یعنی به فضاهایی که به عنوان پرگاله پرگاله‌ای از فضاهای موضعی تعریف می‌شوند که بی‌نهایت اقلیدسی نیستند. این فضاهای موضعی می‌توانند به زبان سینما 1 «هر فضا-هرچیز »[36] باشند. با این حال، این معماری ذاتی‌ی خمینه‌های ریمانی است که تا حدی از آن به لحاظ تاریخی توسعه یافته است، زیرا خمینه‌ها در وهله اول توپولوژیک (غیر متریک) هستند و نه فقط فضاهای هندسی‌ی (پیمایشی یا متریکال). کارکرد فضاهای ریمانی به عنوان فضاهای هموار یا صاف (به معنای دلوز و گتاری) با توپولوژی آنها، با ویژگی‌های “ریتمیک” آنها (به زبان بولز و دلوز و گاتاری) به جای هندسه یا ویژگی‌های «متریک» آنها (این زبان نیز ریاضیاتی است) (TP 485) تعریف می‌شود. بر خلاف هندسه (ژئو-متری) که با اندازه‌گیری سروکار دارد، توپولوژی اندازه‌گیری و مقیاس را نادیده می‌گیرد و فقط به ساختار فضا و پیکرهای اساسی دیسه‌ها می‌پردازد. تا جایی که فرد یک شکل معین را به طور مداوم می‌ترادیساند (یعنی تا آنجا که نقاطی را که قبلاً متصل شده‌اند جدا نمی‌کند و برعکس، نقاطی را که قبلاً از هم جدا شده‌اند به هم وصل نمی‌کند) پیکره‌ی حاصله یکسان در نگر گرفته می‌شود. بنابراین، همه کره‌ها، با هر اندازه و با هر اندازه ترادیسیدگی (مثلاً به شکل گلابی مانند)، از نگر توپولوژیکی برابر هستند. با این حال، آنها از نگر توپولوژیکی از چنبره‌ها[37] متمایز هستند. کره‌ها و چنبره‌ها را نمی‌توان بدون از هم گسستن نقاط متصل‌شان یا پیوستن به نقاط منفصل به یکدیگر تبدیل کرد. سوراخ‌های چنبره‌ها این کار را غیرممکن می‌کند. چنین ویژگی‌های توپولوژیکِ کیفی‌یی می‌توانند به ویژگی‌های جبری و عددی خاصی مرتبط با این فضاها پیوند بخورند، که توپولوژی در واقع باید به عنوان یک رشته ریاضیاتی بر خلاف فلسفه عمل بکند، همانطور که استفاده‌ی کیفی برگسون یا دلوز از ایده‌های ریمان نشان می‌دهد و این دقیقا جایی است که این موضوع برای آن اساسا ضرورتی ندارد. همانطور که لایبنیتس پیش‌بینی کرده، این ایده‌ها به تدریج در قرن نوزدهم علاوه بر ریمان توسط گاوس، پوانکاره و دیگران توسعه یافت و توپولوژی را به عنوان یک رشته ریاضیاتی در قرن بیستم تثبیت کرد.

فضاهای توپولوژیکی نیازی به هیچ ساختار متریک یا خطی‌یی، چه سراسری و چه موضعی ندارند. خطوط سراسری اقلیدسی/دکارتی در فضاهای ریمانی یافت نمی‌شوند (به غیر از موارد خاص، مانند فضاهای اقلیدسی)، در حالی که چنین یابِشی شایند است که در موارد موضعی مجاز باشد اما بایدی نیست. به همین دلیل است که دلوز و گتاری در بالا می‌گویند که فضای ریمانی «حتی اگر بتوان مقادیر ریتمیک را به فضای متریک تبدیل کرد، به عنوان فضای ریمانی دارای مقادیر ریتمیک است که در جای دیگری یافت نمی‌شود» و از این رو «رابطه بین دو نوع فضا لزوماً به فضای ریمانی منتج می‌شود» (TP 485). وقتی بحث فضا را در هزار فلات در نگر می‌گیریم، می‌بینیم که فضاهای هموار (کوچ‌گر) تقریباً به ناگزیر باعث ایجاد خطوط موضعی (وابومِش‌سازی[38]) می‌شوند، حتی اگر به طور همزمان از آنها برخاسته باشند (بومِش‌زدایی[39]‌) – به عبارت دیگر، آنها دوباره به فضاهای ریمانی هم صاف (هموار) و هم (موضعی) مخطط منتهی می‌شوند. قانونِ (یا نوموس) فضای صاف یا هموار (در مقابل لوگوسِ فضای مخطط) توسط فعل و انفعالات موزون اتصالات بین مواضع تعریف می‌شود، که فضاهای توپولوژیکی را به طور کلی تعریف می‌کند؛ تا فضاهای ریمانی که توسط خطوط اقلیدسی موضعی تعریف می‌شوند. بر این اساس، به نگر می‌رسد که مدل ریاضی زیربنایی‌ی «فضای ریمان در عمومی‌ترین حالت» و به‌طور بسط فضای هموار یا صاف در دلوز و گتاری، یک فضای توپولوژیکی کلی است که، با این حال، زیربنای هر فضای ریمانی است.

دلوز در طول کار خود از این ایده‌ها بهره می‌برد. کتاب‌های سینما تا حدی بر اساس فضایی ریمانی، از طریق برگسون، که ایده‌هایش مدیون ریمان بود، ساخته شده‌اند. Cinema 2 نمونه‌های چشم‌نوازی از این «ریمانیزم» را در برابر اقلیدسیزم ارائه می‌دهد: فضاهای ریمانی در برسون[40]، . . . فضاهای توپولوژیکی رِنِه[41] (TI 129). همچنین پیامدهای گسترده – زیبایی شناختی، فلسفی و فرهنگی، سیاسی‌ی – ریمانیزم را بررسی می‌کند.

خمینگی و ماتریالیسم در ریمان و در دلوز و گتاری

بازاندیشی رادیکال ریمان درباره فضامندی، بسط ایده‌های گاوس در مورد هندسه داخلی سطوح منحنی را ارائه می‌دهد، یعنی هندسه‌یی مستقل از فضای اقلیدسی محیطی (سه بعدی) که در آن چنین فضاهای خمیده‌ای می‌توانند قرار گیرند. این دیدگاه از فضا همچنین اجازه می‌دهد تا ایده‌های لایبنیتس در مورد ماهیت رابطه‌ای همه-فضامندی گسترش داده شود. اکنون فضای کنشمند، دیگر به عنوان یک فضای اقلیدسی مشخص و محیطی (مسطح) یا به قول ویل، یک «مسطح مسکونی»[42] جایی که، به طور پدیداری، دیسه‌های هندسی یا از نگر فیزیکی چیزهای مادی قرارگرفته‌اند؛ دیده نمی‌شود.[43] در عوض به صورت یک خمینه‌ی (پیوسته) ظاهر می‌شود که ساختار آن، مانند خمیدگی، به صورت درونی، ریاضی‌وارانه یا مادی‌وارانه تعیین می‌شود (به عنوان مثال، توسط گرانش، مانند نظریه نسبیت عام اینشتین، بر اساس ریاضیات ریمانی) نه بر اساس ارتباط با یک فضای پیراگیر[44]، اقلیدسی یا نااقلیدسی. از این منظر، مفهوم فضای خالی شایند است به صورت ریاضی یا پدیدار مورد توجه قرار گیرد، اما، همانطور که لایبنیتس درک کرد، به کار بردن این مفهوم در دنیای فیزیکی دشوار است. به عقیده لایبنیتس، فضا را نمی‌توان به عنوان یک محیط اولیه داده شده، همچون ظرفی از اجسام مادی و عرصه پس زمینه فرآیندهای فیزیکی، در امتداد خطوط مفهوم فضای مطلق نیوتن در اصول ریاضی فلسفه طبیعی خود که تأثیرگذارترین و از بسیاری جهات تعیین‌کننده‌ترین شکل اقلیدسی در تمام مدرنیته است؛ در نگر گرفت. اینشتین معنای فیزیکی دقیقی به این ایده‌ها داد و آنها را با این استدلال که مکان یا زمان داده نمی‌شوند بلکه به وجود می‌آیند، و آنها اثرات ابزارهای ما، مانند میله‌ها و ساعت‌ها هستند[45]، و نیز برخاسته از تعاملات ادراکی و مفهومی ما با آن ابزار هستند؛ گسترش داد. بنابراین فضا به عنوان یک پدیده (یا یک مفهوم) به واسطه دو عامل امکان‌پذیر است. اولین مورد وجود ماده و فناوری است، مانند میله‌ها و ساعت‌ها (یا اجسام طبیعی که در این نقش کنش می‌کنند). دوم نقش ماشین پدیداری ادراکی ما است، نقشی که می‌توان استدلال کرد که شرط اولیه امکان فضا، همراه با زمان است، که ماشین هنوز به دلیل مادی بودن همانا بدن ماست.

ریمان بر اساس ایده‌هایش که در اینجا مورد بحث قرار گرفته‌است، اشارات شگفت‌آورانه‌یی از نظریه اینشتین ارائه می‌دهد. به گفته ویل:

ریمان عقیده‌ای را که تا زمان خودش غالب بوده، یعنی اینکه ساختارِ متریکِ فضا ثابت است و ذاتاً مستقل از پدیده‌های فیزیکی است که به عنوان پس‌زمینه برای آنها کنش می‌کند، و اینکه محتوای واقعی آن را به عنوان سطوح مسکونی در اختیار می‌گیرد؛ رد می‌کند. برعکس، او ادعا می‌کند که فضا به خودی خود چیزی بیش از یک خمینه‌ی سه‌بعدی و خالی از هر دیسه نیست و فقط از طریق ظهور محتوای مادی که آن را پر می‌کند و روابط متریکی که آن را تعیین می‌کند، شکل مشخصی به دست می‌آورد.[46]

این موضوع دقیق‌تر (و نزدیک‌تر به ریمان) خواهد بود اگر بگوییم فضا حداکثر به‌عنوان یک خمینه‌ی سه‌بعدی، به‌عنوان یک نوع فضای صاف یا هموارِ آزاد با خطوط احتمالی، به‌طور پدیداری داده می‌شود. از نگر فیزیکی، از نگر ریمان و اینشتین یا لایبنیتس، ممکن است فقط با ماده هم-گسترده[47] باشد. ویل می‌افزاید: «با نگاهی به مرحله‌یی که اینشتین ما را به آن رساند، اکنون متوجه می‌شویم که این ایده‌ها تنها پس از اضافه شدن زمان به‌عنوان بعد چهارم به سه-بعد فضا، می‌توانند یک نظریه [فیزیکی] معتبر ایجاد کنند.»[48] میدان گرانشی، خمینه‌ی مورد نگر و خمیدگی‌ی متغیر کلی آن را تعیین می‌کند. واقعیت معکوس، اینکه میدان گرانشی فضا را شکل می‌دهد و نیز آن را به صورت خمینه‌ی ریمانی شکل می‌دهد، همچنان حیاتی است. فضاهای مختلف در شرایط خاص خود و در شرایط برابر – به جای ارتباط با یک محیط یا فضای اولیه منحصر به فرد – مورد بررسی قرار می‌گیرند. این دیدگاه فلسفه‌ی ما از فضا و ماده و روابط آنها را با هدایت به علم افقی و نه عمودی یا (سلسله مراتبی‌ی) فضا به‌عنوان «گونه‌شناسی و توپولوژی خمینه‌ها» به‌طور بنیادی تغییر می‌دهد. و این همان رخدادی است که دلوز و گتاری آن را با پایان دیالکتیک مرتبط می‌دانند و نیز پای آن را به فضاهایی که فلسفی، زیبایی‌شناختی، فرهنگی یا سیاسی هستند؛ می‌کشانند (TP 483؛ ترجمه اصلاح شده).

«مدل فیزیکی» دلوز و گتاری از صاف یا (هموار) و مخطط این دگرگونی را به یک پیوند مفهومی و تاریخی‌ی بزرگ فیزیک و اقتصادِ سیاسی، در کنار پیوند هر دو با هندسه تبدیل می‌کند (TP 490). مدل فناورانه – به ویژه فناوری نساجی، مدل «بافندگی» (از افلاطون به بعد)- در این عبارات نیز دیده می‌شود، و چرایی آن از این جهت است که خاستگاه اقتصاد سرمایه‌داری و نیروی کار به ویژه در تولید پارچه در فلورانس، در «فضای» صاف و مخطط رنسانس قابل ردیابی است. رنسانس (اگر هنوز بتوان از آن صحبت کرد) همچنین رنسانس هندسه در ریاضیات، علوم، فلسفه و هنر بود. و «دیدمانگاه[49]»، یکی از خط‌های بزرگ رنسانس، و تنها یکی از جنبه‌های آن است. وضعیت کلی را می‌توان در گالیله یا ریاضیدانان یونان باستان، به ویژه ارشمیدس، و نقش هندسه و فیزیک به عنوان دولت، علوم اصلی (و در) فضاهای مخطط و به عنوان کوچ‌گر، علوم جزئی (و در) فضاهای صاف یا هموار و تعاملات آنها (TP 362) ردیابی کرد. هم گالیله و هم ارشمیدس مهندسان ارتش بودند (همانطور که لئوناردو بود)، و نیوتن به یک شخصیت دولتی قدرتمند تبدیل شد، رئیس ضرابخانه، بنابراین از ریاضیات به سمت پول رفت. از یونان باستان به بعد، «هندسه در چهارراهِ مسئله فیزیک و امر دولتی قرار دارد» (TP 489). واژگانِ این جمله قابل انتقال است: “فیزیک در چهارراه مسئله هندسه و امر دولتی قرار دارد.”

گاسپار مونگ[50]، یکی از نمایندگان کلیدی ریاضیات دولتی در هزار فلات در اواخر قرن هجدهم، در راه اندازی‌ی دانشگاه پلی‌تکنیک معروف به عنوان یک مؤسسه دولتی (به هر معنا) که در آن سخت‌ترین آموزش‌ها در ریاضیات محض با آموزش به همان اندازه دقیق در علوم کاربردی و مهندسی ترکیب شد؛ نقش اساسی داشت. در این میان بود که نقش عمده‌یی در این برنامه به رشته جدید هندسه دیفرانسیل که ترکیبی از هندسه و حساب دیفرانسیل بود، داده شد. حساب دیفرانسیل و انتگرال، به ویژه در کار نیوتن و لایبنیتس، می‌تواند به عنوان یک علم اصلی و فرعی، از این منظر مورد بررسی قرار گیرد. هندسه دیفرانسیل، با این حال، به یک علم جزئی در کار گاوس تبدیل شد و در نهایت به هندسه ریمان و سپس به فیزیک اینشتین منجر شد. قرن نوزدهم، فیزیک و هندسه را با تحولات انقلابی یکسانی در تاریخ سیاسی-اقتصادی سرمایه‌داری و علوم اجتماعی و اقتصادی، از آدام اسمیت به بعد، وارد پیوند جدیدی کرد.

همین نوع ماتریس، به‌طور تعاملی ریمانی و ماتریالیستی، منظره‌ای سرگیجه‌آور از مغز تا سیاست را تعریف می‌کند که در سینما 2 و در اواخر فلسفه چیست؟ ریمانیزمِ فلسفه چیست؟ ضمنی‌تر و در عین حال به همان اندازه قدرتمندتر است. مفهوم فلسفی‌شده‌ی فضاهای ریمانی همچون یک لقب در مقطعی حیاتی، یعنی تداخل ریاضیات و فلسفه ظاهر می‌شود (WP 217). فضای چنین تداخلی با و بر اساس پویایی‌ی نهایی اندیشه به عنوان رویارویی با آشوب و از طریق آن رویارویی آشکار شده و «از آشوب استخراج می‌شود»، سایه دنیای سیاسی که هنوز در راه است، که در آن حتی فلسفه، هنر و علم ممکن است منحل شوند، در حالی که هنوز فضا را برای خود اندیشه به عنوان رویارویی با آشوب باقی می‌گذارند، تعریف می‌شود (WP216-18). «در این غوطه‌ور شدن [مغز در آشوب] به نگر می‌رسد که سایه‌ی «مردم که آیِش می‌کنند[51]» از آشوب بیرون می‌آید، به این شکل که نه تنها هنر، بلکه فلسفه و علم: توده-مردم، جهان-مردم، مغز-مردم، آشوب-مردم» را فرا‌می‌خوانند (WP 218). همان نوع تلاقی مغز، اندیشه، آشوب و «مردمی که آیِش می‌کنند» فصل‌های پایانی سینما 2 را تعریف می‌کند، به ویژه فصل 8، «سینما، بدن و مغز، اندیشه» (TI 189-224).

من فقط می‌توانم در اینجا ابعاد ریمانی این صفحات شگفت‌انگیز هر دو کتاب را به اختصار ترسیم کنم. تقریباً، در اینجا روابط پیچیده – به طور ناهمگنی تعاملی و به طور تعاملی‌یی ناهمگن – نه تنها بین همسایگی‌ها در فضای ریمانی، بلکه بین خود چنین فضاهایی نیز مورد بحث است. ریاضیات و فیزیک ما از یک سو، و علوم اعصاب ما از سوی دیگر، به ما می‌گویند که، تا حدی که فرآیندهایی که طبیعت و زندگی را تعریف می‌کنند، و مغز ما (شبکه‌های عصبی) را می‌توان ترسیم کرد؛ آنها احتمالاً برحسب فضاهای ریمانی، و برهمکنش فضاهای صاف و مخطط درون‌شان نقشه برداری می‌شوند. زمانی که به سیاست و فرهنگ خود نزدیک می‌شویم، باید همان نقشه‌برداری را به کار بگیریم. مسئله تنها انعکاس چنین خمینگی‌های ریمانی‌یی از طبیعت بی‌جان تا حیات و بدن و مغز و اندیشه و فرهنگ و سیاست نیست، بلکه در وهله اول نیز روابط پیوسته‌یی است که این خمینه‌ها را به هم متصل می‌کند. این یک نوع جدید از «معماری منظر» است، معماری بسیاری از مناظر، که در آن این فضاها با هم همزیستی و تعامل افقی دارند، بدون اینکه لزوماً همدیگر را بازتاب دهند.

مونادولوژی لایبنیتس را می‌توان از این منظر نیز نگریست، و دلوز و گتاری «مونادها» را در کنار «سوژه واحد فضای اقلیدسی» قرار می‌دهند (TP 574, n. 27). با این حال، این مونادولوژی باید به یک نومادولوژی نو از جنسِ باروکِ پسا-ریمانی، دقیقا برخلاف باروکِ کهنه‌ی لایبنیتسی تبدیل شود. مونادهای لایبنیتس در نهایت تنها از طریق تعاملشان با جهان با یکدیگر تعامل دارند، که معماری کلی تعاملی آن، در باروک لایبنیتس، در هارمونی قابل کنترل و همگرایی است، که به طور کامل و فقط در دسترس یا قابل محاسبه برای خداست (نگاه کنید به FLB 26). هارمونی‌های متفاوت باروک نو، چین‌خوردگی‌یی که خمینه شده‌است را حفظ می‌کند، اما مونادولوژی را به کوچ‌شناسی (نومادولوژی) تبدیل می‌کند که شامل مونادولوژی است، اما قابل تقلیل نیست (FLB 137). فصل «صاف و مخططِ» هزار فلات را نیز می‌توان بر حسب پیوند «ریمان‌شناسی» و کوچ‌شناسی در مدل‌های مختلف صاف و مخطط – به‌ویژه در مدل‌های موسیقیایی و زیبایی‌شناختی، بازخواند. نخستین نمونه با کار Boulez است که زبان «صاف و مخطط» را معرفی کرد و همچنین یکی از نمادهای کلیدی باروک نو در The Fold است، و دومین نمونه با کار سزان و نقاشانی که پس از او آمدند گره می‌خورد (TP 477–8, 493–4). این تبدیل مونادولوژی لایبنیتس به کوچ‌شناسی ریمان به طور صریح با فضای ریمانی در برابر فضای اقلیدسی مرتبط است:

همه این نکات پیشاپیش به فضای ریمانی، با رابطه اساسی آن با «مونادها» (در مقابل موضوع واحد فضای اقلیدسی) مربوط می‌شود. . . . اگرچه تصور نمی‌شود که «مونادها» دیگر به روی خود بسته باشند، و فرض بر این است که روابط مستقیم گام به گام موضعی [ریمانی] را برقرار می‌کنند، دیدگاه صرفاً مونادولوژیک ناکافی است و باید با «نومادولوژی» جایگزین شود (هویت فضاهای مخطط در مقابل واقع گرایی فضای صاف یا هموار). (TP 573-4)

اکنون می‌توانیم به آسانی درک کنیم که چرا دلوز و گتاری ریاضیات ریمان در مورد خمینه‌ها را دلالت بر نوعی علم سلسله مراتبی افقی و نه عمودی از فضا به‌عنوان «نوع‌شناسی [غیر دیالکتیکی] و توپولوژی خمینه‌ها» می‌دانند (TP 483؛ ترجمه اصلاح شده). این دیدگاه یک فضای جدید – افقی – از خود علم، چه در یک رشته معین مانند ریاضیات یا فلسفه، چه بطور میان رشته‌ای یا یک فضای جدید فکری و روش‌های مختلفی برای اندیشیدن پیشنهاد می‌کند. ما می‌توانیم به فضاها یا مناظر فکری و فرهنگی به شیوه‌ ناهمگنی تعامل‌وارانه بیاندیشیم – بر حسب نقشه‌های متمایز و متنوع، اما کنشمندانه و شایشمندانه‌ی تعاملی، که به‌جای عمودی یا سلسله مراتبی به‌صورت افقی مرتب شده و مرتبط هستند. این کار که توسط عمل ریمان در ریاضیات از طریق تعامل حوزه‌های مختلف – توپولوژی، هندسه، جبر، آنالیز و غیره پیش‌بینی ‌شد؛ نااقلیدسیزمِ ریاضی و فلسفی را مانند آنچه دلوز انجام داد و تعریف کرد، بیان می‌کند.

اجتناب از این نتیجه‌گیری دشوار است که قسمتی از فضای ریمانی که در بالا ذکر شد، فصل «صاف و مخطط» را نیز با مدل‌های متفاوت، اما باز هم با حالت تعاملی آن توصیف می‌کند – مفاهیمی از جمله فناوری، موسیقی، علوم دریایی، ریاضیاتی، فیزیکی، زیبایی شناختی (هنر کوچ‌گرانه) و غیره. من فقط آنهایی را فهرست می‌کنم که دلوز و گتاری به صراحت از آن‌ها نام برده‌اند، که تحلیل‌شان متضمن بسیاری از مدل‌های ممکن دیگر، به عنوان مثال هزاران مدل است. این مدل‌های مختلف تا حدی برای ایجاد برخی جنبه‌های کلی یا مشترک مفاهیم انتزاعی‌ترِ صاف و مخطط ضروری هستند (TP 475). با این حال، مهم‌تر از همه این است که این مدل‌ها امکان کاوش در جنبه‌های مختلفِ هر نوع فضا و روابط میانِ آنها، و از این فضاها، مجموعه‌های تعاملی ناهمگنانه، و چنین فضاهایی، خمینه‌های خمینه‌ها را فراهم می‌کند (TP 475).

شایان ذکر است که این نوع مفهوم توسط ریمان در در نگر گرفتن خانواده سطوح به اصطلاح ریمانی (مانند چنبره‌ها) معرفی شد. این نوع شیء که به «فضاهای مدولی یا پیمانه‌ای» معروف است، یکی از خارق‌العاده‌ترین تصورات در ریاضیات مدرن است. به عنوان مثال، این مهم در اثبات آخرین قضیه فِرما، توسط اندرو وایلز[52]، که یکی از بزرگترین دستاوردهای ریاضیات معاصر است، کمک کرد. اما این مفهوم نمی‌تواند فقط ریاضیاتی یا فقط ریاضیاتی و فلسفی باشد. چیزی فراتر از هر دو یا هر دو است. این امر ثابت می‌کند که ریاضیات بیشتر شبیه فکر و زندگی است (که پیچیده‌تر از فکر است) تا فکر و زندگی مانند ریاضیات -به این معنا که ریاضیات، همانطور که اغلب بوده‌است، به عنوان انتزاعی از غنا، تنوع و زندگی درک می‌شود. ایده‌ی خمینه‌یی‌ی خمینه‌ها محصول تفکر به‌عنوان رویارویی با آشوب و بخشی از سایه‌یی از آینده است – چیزها، افکار و آدم‌هایی که آیِش می‌کنند.

---

[1] . ریاضیات با پیشاسقراطیان متولد نشده‌است. بلکه نمود ریاضیات پیشرفته در الواح سومری، بابلی، اکدی، مصری، ایرانی، عیلامی و هندی به وفور وجود داشته. سومریان باستان در بین النهرین از 3000 سال قبل از میلاد یک سیستم پیچیده اندازه گیری ایجاد کردند. سومری‌ها از 2600 قبل از میلاد جدول ضرب را بر روی لوح‌های گلی می‌نوشتند و به تمرین‌های هندسی و مسائل تقسیم نیز می‌پرداختند. قدیمی‌ترین آثار اعداد بابلی نیز به این دوره بازمی گردد. ریاضیات بابلیان که به آن ریاضیات آشوری-بابلی هم می‌گویند ریاضیاتی است که در میان مردمان میان‌رودان از روزهای نخست فرمانروایی سومریان تا سرنگونی بابل در ۵۳۹ پیش از میلاد کاربرد داشته و گسترش یافته‌است. نوشته‌های ریاضیاتی بابلیان فراوان است و به خوبی ویرایش شده‌است.ریاضیات بابلیان را از دیدگاه زمانی می‌توان به دو بخش تقسیم کرد، یکم دورهٔ بابلیان باستان (از ۱۸۳۰ تا ۱۵۳۱ پیش از میلاد) و دوم بیشتر مربوط به دورهٔ سلوکیان در حدود سه تا چهار سده پیش از میلاد است. از دیدگاه محتوا، تفاوت آشکاری میان دو دوره دیده نمی‌شود از این رو می‌توان گفت ریاضیات بابلیان در نزدیک به دو هزار سال وضعیت ثابتی داشته‌است. داده‌های ما پیرامون دانش ریاضیاتی بابلیان از نزدیک به ۴۰۰ گِل‌نوشتهٔ رسی که از زیر خاک بیرون کشیده شده، بدست آمده‌است. این گِل‌نوشته‌ها به خط میخی‌اند، هنگامی که گِل هنوز خیس بوده بر روی آن نوشته شده و بعد زیر نور خورشید یا در یک کوره خشک شده‌است. مباحث ارائه شده در این گِل‌نوشته‌ها عبارتند از: کسر، جبر، معادلهٔ درجه دو و سه و قضیهٔ فیثاغورس. در یکی از این گِل‌نوشته‌ها هم تقریبی برای ارائه شده‌است که تا سه رقم در مبنای ۶۰ دقیق بوده‌است (برابر با ۷ رقم در مبنای ده). بدیهی است که کاتبان عیلامی مانند همتایان بابلی خود با اصول هندسه جامد آشنا بودند و می‌دانستند که چگونه حجم اشکال سه بعدی مانند مکعب‌ها، منشورها و اهرام ناقص را محاسبه کنند. تفسیر ریاضی از SMT شماره 14 نشان می‌دهد که کاتبان شوش از فرمولی برای حجم یک هرم مستطیل شکل استفاده کرده‌اند که آنها را قادر می‌ساخته تا مقدار حجم دقیق آن را محاسبه کنند. این مهم تأیید می‌کند که آنها فرمول حجمی یک هرم را می‌دانستند، حتی اگر ممکن است آن را به صراحت بیان نکرده باشند و این توانایی از طرف آنها برای کسانی که در مورد تاریخ ریاضیات تحقیق می کنند بسیار جالب است (حجم اجسام جامد در ریاضیات عیلامی، ناصر حیدری و کازوئو موروی، 24 مارس 2023). کاربردهای ضمنی و صریح قضیه فیثاغورث یافت شده در SMT نشان می‌دهد که کاتبان عیلامی – مانند همتایان بابلی خود – از این قضیه اساسی کاملاً آگاه بودند. آنها آزادانه از قانون فیثاغورس هر زمان که محاسباتشان شامل محاسبه ضلع مثلث قائم الزاویه می‌شد، استفاده می‌کردند (قضیه فیثاغورس در ریاضیات عیلامی، ناصر حیدری و کازوئو موروی، 30 مِی 2023).

برای مطالعه بیشتر درباره ریاضیات در ایران باستان به لینک روبرو بروید: https://fold-era.com/posts/pythagorean-theorem

[2] . Manifoldness.

[3] . Certain.

[4] . Patchwork-like.

[5] . Infinite dimensional.

[6] . Theoretical practice.

[7] . Multiple or manifold.

[8] . Multi-field.

[9] . Plural mathematics.

[10] . من این موضوع را با جزئیات بیشتری در کتاب دانستنی‌ها و ناشناخته‌ها: علم مدرن، تفکر غیرکلاسیک و «دو فرهنگ» (آن آربور: انتشارات دانشگاه میشیگان، 2002)، صفحات 126-36، 266-8، و nn. 24-6 آورده‌ام.

[11] . واژه chiffre که همان صفر عربی است در فرانسوی به معنی «رقم یا عدد و رمز» است.

[12] . Multi-component conglomeration.

[13] . بر اساس نگر پیر بولز.

[14] . در ترجمه انگلیسی برایان معصومی از «multiplicity» برای ترجمه فرانسوی «multiciplité» استفاده می‌کند. اصطلاح ریاضی انگلیسی خمینه (manifold) است، که ریشه «فولد» مفهومِ Mannigfaltigkeit در ریمان را نیز حفظ می‌کند.

[15] . با هدایت فلسفه برگسون.

[16] . Arbitrary metaphor.

[17] . برای واژه chaos انتخاب شد. خائوس/گیدَن(خواستن، بایستن)χάος(chaos) ریشه فرضی هندواروپایی این واژه -gheHu* به معنی”معیوب بودن، فاقد بودن، نابسنده بودن، نداشتن، کم داشتن،”است، ایدون این واژه همریشه است با واژگان: ایرانی فرضی gaHu* به معنی”نیاز داشتن، فاقد بودن، خواستن، خواست، میل”، اوستایی -gau به معنی”گناه کردن، ترویج دادن”، لاتین hauelod به معنی”نابسنده، ناکافی، دروغ، غلط”، لاتین hau(d) به معنی”نه”، ایرلندی باستان gáu, gó به معنی”دروغ، کذب”، ولزی gau به معنی”دروغ”، یونانی χάος به معنی”فضای نخستین، فضای آغازین، آشفتگی، در اصل معنایش از (تهی، پوچ، خالی) آمده و بعدتر معنای آشفتگی گرفته است”، پارتی gawānīg به معنی”خواسته، بایسته”، پارتی fraγāwēnīdan به معنی” فاقد بودن”، خُتَنی -hagav به معنی”میل داشتن، آرزوی چیزی را داشتن، آرمان چیزی را داشتن، وایه‌مند بودن”، سغدی -γw به معنی”لازم بودن، کمبود داشتن، بایستن، ضروری بودن”، خوارزمی -γw به معنی”نیاز داشتن، لازم بودن، اشتباه کردن، نداشتن”، سغدی γwānčē به معنی”لازم، مورد نیاز”، سغدی γwānčīk به معنی”لازم، مورد نیاز”، سغدی γwānčīk-star به معنی”لازم‌ترین”، سغدی γwānčīkyā به معنی”الزامی، نیاز”، بلخی -γαοο به معنی”لازم بودن، باید”و…

“بررسی این ریشه در گویش‌های ایرانی”

این واژه با اشکال:( gi, ga, ji, oū, gū, gūā, gav, gavas, gost, gow, gast, ye, ge, gīäī, gās,…) در زبان های ایرانی دیده شده، که بیشتر آنها در گستره‌ی گویش‌ها و زبان‌های استان‌های اصفهان، مرکزی و سمنان اند و در تمامی این زبان‌ها این واژگان در معنی”خواستن”اند و مصدر محسوب می‌شوند.

[18] . Disorder.

[19] . Void.

[20] . Drawing out.

[21] . Consistency.

[22] . Reference.

[23] . Consequence.

[24] . در حالی که فلسفه مفاهیم را خلق می‌کند، هنرها ترکیب‌های کیفی جدیدی از سُهِش‌ (sensation) و پَلاهِش‌ (feeling) ایجاد می کنند (آنچه دلوز آن را “دریافت‌ها” (percepts) و “هَنایِش‌ها” (affects) می‌نامد)؛ و علوم نظریه‌های کمی را بر اساس نقاط مرجع ثابت مانند سرعت نور یا صفر مطلق ایجاد می‌کنند که دلوز آن‌ها را “کنشگرها” ​​می نامد).

[25] . Multi-component.

[26] . برنهارد ریمان، “درباره فرضیه‌هایی که در مبانی هندسه نهفته‌اند”، ترجمه. W. K. Clifford، Nature 8 (1873)، بخش شماره 1; ترجمه اصلاح شده این سخنرانی که در سال 1854 ایراد شد، پس از مرگ او در سال 1868 منتشر شد. ترجمه انگلیسی آن در آدرس

http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/WKCGeom.html

موجود است.

[27] . رجوع کنید به دی. لاگوویتز، برنهارد ریمان: نقاط عطف در مفهوم ریاضیات، ترجمه. A. Shenitzer (بوستون: Birkhäuser, 1999)، pp.303-7، که، با این حال، دیدگاه متعارف‌تری از ریاضیات مفهومی ریمان دارد.

[28] . از نگر فنی، ریمان اصطلاح خمینه‌های دیفرانسیل را در نگر گرفت، به این معنی که می‌توان حساب دیفرانسیل را بر روی آنها تعریف کرد.

[29] . Gauss.

[30] . Johann Bolyai.

[31] . Nikolai I. Lobachevsky.

[32] . برای آشنایی بیشتر با اندیشه هرمان ویل به لینک روبرو بروید: https://www.fold-era.com/posts/deleuze-and-mathematics

[33] . H. Weyl، فضا زمان ماده، ترجمه. هنری ال. بروس (نیویورک: دوور، 1952 [1918])، ص. 92.

[34] . ویل، ماده فضا زمان، ص. 102.

[35] . و فوکو که دلوز از این منظر در کتاب فوکو خود بحث می‌کند.

[36] . من می‌خواهم توجه شما را به پدیده‌ای مترقی جلب کنم که دلوز در دو جلد خود، سینما 1 و سینما 2، به آن پرداخته‌است. ساختار روایی جدید نظریه‌پردازی شده به او اجازه می‌دهد نوعی فرکتالیزه کردن فضای روایی را پیشنهاد کند. این پدیده در آثار او عمدتاً به شیوه‌ای که دلوز کلوزآپ را درک می‌کند (طرح ناخالص) برجسته شده است. ایده‌های دلوز در نمای نزدیک با بونیتزر همگرایی دارند. در واقع، بونیتزر استدلال می‌کند که یک نمای نزدیک عمق میدان را پاک می‌کند و با استفاده از این پدیده خاص که توسط فضای کلوزآپ ایجاد می‌شود، می‌توان وجود نماهایی فارغ از هرگونه ارتباط خیالی با فضا را شناسایی کرد. این پدیده فرکتالیزه شدن فضای روایی را می‌توان در espace quelconque (هر فضا-هرچیز) که دلوز نیز پایه گذاری کرد؛ یافت. این اصطلاح که توسط اوگر ابداع شد، فضایی را توصیف می‌کند که در ابتدا به عنوان یک میدان واقعی ظاهر نمی‌شود. با ویژگی‌های فراکتالی خود فضایی بی‌نهایت را بیان می‌کند. هر-فضا-هرچیز که «فضای شایند» را مجسم می‌کند، نوعی فضای مجازی است. این فضا همگنی، اصل نسبت متریک و “قوانین طبیعی” را که اجزای خود را به هم متصل می‌کند، از دست می‌دهد.

[37] . Tori.

[38] . Reterritorialisation.

[39] . Deterritorialisation.

[40] . Bresson.

[41] . Resnais.

[42] . مسطح در اینجا جناس مناسبی است.

[43] . ویل، ماده فضا زمان، ص. 98.

[44] . Ambient.

[45] . اینشتین در مورد ایجاد یک سیستم مختصات با شبکه‌ای از میله‌های اندازه‌گیری خیالی با طول واحد در امتداد محورهای فضایی صحبت می‌کند.

[46] . ویل، ماده فضا زمان، ص. 98.

[47] . Co-extensive.

[48] . ویل، ماده فضا زمان، ص. 101. فضاهای حاصل در زمینه مسئله موقتی بودگی در برگسون و در دلوز، به ویژه در منطق معنا، مهم هستند.

[49] . Perspective.

[50] . Gaspar Monge.

[51] . برای come بکار گرفتم از بن مضارع آمدن که می‌شود: «آی-».

[52] . Andrew Wiles.